sdhjskalkakjslkjaskljdas

sdhjskalkakjslkjaskljdas

Polinomial

Pada aljabar, fungsi polinomial atau disingkat polinomial, adalah suatu fungsi yang berbentuk

Seringkali yang menjadi masalah adalah mendapatkan akar dari polinomial tersebut. Contohnya adalah sebagai berikut

Berapa nilai-nilai x yang memenuhi persamaan di atas? R dapat menyelesaikan dengan mudah, dengan memanfaatkan package polynom. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

> # panggil package polynom

> libray(polynom)

> p<-polynomial(c(-10, 21, -12, 1))

> p

-10 + 21*x - 12*x^2 + x^3

> solve(p)

[1] 1 1 10

Perhatikan bahwa pada fungsi polynomial argumennya merupakan koefisien-koefisie polinom yang akan kita cari akarnya dan ditulis secara menurun, dari pangkat paling rendah ke yang paling tinggi. Fungsi R polynomial diatas disimpan ke objek (variabel) p. Fungsi solve dengan argument berupa objek p, akan memberikan nilai-nilai akar, yaitu ada tiga, berturut-turut adalah 1, 1, dan 10.

Untuk menggambarkan bagaimana kurva polinom tersebut

memotong sumbu-x, yang menunjukkan akar-akarnya. Perintah R nya adalah sebagai berikut

> plot(p, ylim=c(-110, 20), col="blue")

> abline(h=0, v=c(1,10), lty=2)

Hasilnya adalah sebagai berikut

Ok. Selamat mencoba …

Polinomial

Pada aljabar, fungsi polinomial atau disingkat polinomial, adalah suatu fungsi yang berbentuk

Seringkali yang menjadi masalah adalah mendapatkan akar dari polinomial tersebut. Contohnya adalah sebagai berikut

Berapa nilai-nilai x yang memenuhi persamaan di atas? R dapat menyelesaikan dengan mudah, dengan memanfaatkan package polynom. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

> # panggil package polynom

> libray(polynom)

> p<-polynomial(c(-10, 21, -12, 1))

> p

-10 + 21*x - 12*x^2 + x^3

> solve(p)

[1] 1 1 10

Perhatikan bahwa pada fungsi polynomial argumennya merupakan koefisien-koefisie polinom yang akan kita cari akarnya dan ditulis secara menurun, dari pangkat paling rendah ke yang paling tinggi. Fungsi R polynomial diatas disimpan ke objek (variabel) p. Fungsi solve dengan argument berupa objek p, akan memberikan nilai-nilai akar, yaitu ada tiga, berturut-turut adalah 1, 1, dan 10.

Untuk menggambarkan bagaimana kurva polinom tersebut

memotong sumbu-x, yang menunjukkan akar-akarnya. Perintah R nya adalah sebagai berikut

> plot(p, ylim=c(-110, 20), col="blue")

> abline(h=0, v=c(1,10), lty=2)

Hasilnya adalah sebagai berikut

Ok. Selamat mencoba …

Polinomial

Pada aljabar, fungsi polinomial atau disingkat polinomial, adalah suatu fungsi yang berbentuk

Seringkali yang menjadi masalah adalah mendapatkan akar dari polinomial tersebut. Contohnya adalah sebagai berikut

Berapa nilai-nilai x yang memenuhi persamaan di atas? R dapat menyelesaikan dengan mudah, dengan memanfaatkan package polynom. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

> # panggil package polynom

> libray(polynom)

> p<-polynomial(c(-10, 21, -12, 1))

> p

-10 + 21*x - 12*x^2 + x^3

> solve(p)

[1] 1 1 10

Perhatikan bahwa pada fungsi polynomial argumennya merupakan koefisien-koefisie polinom yang akan kita cari akarnya dan ditulis secara menurun, dari pangkat paling rendah ke yang paling tinggi. Fungsi R polynomial diatas disimpan ke objek (variabel) p. Fungsi solve dengan argument berupa objek p, akan memberikan nilai-nilai akar, yaitu ada tiga, berturut-turut adalah 1, 1, dan 10.

Untuk menggambarkan bagaimana kurva polinom tersebut

memotong sumbu-x, yang menunjukkan akar-akarnya. Perintah R nya adalah sebagai berikut

> plot(p, ylim=c(-110, 20), col="blue")

> abline(h=0, v=c(1,10), lty=2)

Hasilnya adalah sebagai berikut

Ok. Selamat mencoba …

Grafik Tiga Dimensi

Grafik tiga dimensi dengan mudah dapat dibuat dengan menggunakan bantuan R. Berikut ini adalah perintah-perintah dalam R untuk membuat grafik tiga dimensi.

> # plot-plot 3D menggunakan: persp, contour, image

> # Bangun Bidang Datar
> x <- y <- seq(-5, 5, length=50)

> # Untuk membuat dimensi yang ketiga, kita membutuhkan fungsi "outer"
> z <- outer(x, y, "+")
> persp(x, y, z )

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Untuk fungsi yang lebih kompleks, definisikan fungsinya terlebih dahulu. Contoh berikut ini adalah menggambarkan grafik fungsi berikut:

> # misalkan fungsinya diberi nama f2

> f2 <- function(x, y){ x * sin(y) + y*sin(x)}
> z2 <- outer(x, y, "f2")

> persp( x, y, z2)

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Perintah berikut ini memberikan perpektif yang lebih baik

> persp(x, y, z2, theta=45, phi=45, col="slateblue")

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Argumen col pada fungsi persp akan memberikan warna pada grafik yang kita buat. Untuk melihat warna-warna apa saja yang dapat diterima oleh R, gunakan perintah berikut ini:

> colors() # atau
> colours()

Perintah R berikut ini memberikan gambar lain yang lebih menarik. Fungsi yang ingin digambarkan adalah:

> x <- seq(-10, 10, length= 50)
> y <- x
> f <- function(x,y) { r <- sqrt(x^2+y^2); 10 * sin(r)/r }
> z <- outer(x, y, f)

> persp(x, y, z, theta=45, phi=30, col="skyblue")

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Perintah R berikut ini memberikan gambar fungsi yang sama, tetapi dengan perspektif yang lain (theta = 30 dan phi = 45), dan warna kuning (col = "orange").

> persp(x, y, z, theta=30, phi=45, col="orange")

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Perintah R berikut ini memberikan gambar fungsi yang sama, tetapi dengan detil yang lebih baik.

> persp(x, y, z, theta = 30, phi = 30, col = "lightblue",
+ ltheta = 120, shade = 0।75, ticktype = "detailed",
+ xlab = "X", ylab = "Y", zlab = "f(x, y)" )

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Bidang "Countour"

Bidang countour merupakan proyeksi grafik tiga dimensi kebidang XY, yang mana ketinggian grafik digambarkan oleh garis-garis countour yang samakin rapat atau padat. Perintah-perintah berikut ini menggambarkan bidang countour tersebut, dengan fungsi R countour dan image.

> contour(x, y, z)

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

> image(x, y, z)

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

> image(x, y, z, col=rainbow(n=100))

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

> image(x, y, z, col=terrain.colors(n=100))

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Grafik Tiga Dimensi

Grafik tiga dimensi dengan mudah dapat dibuat dengan menggunakan bantuan R. Berikut ini adalah perintah-perintah dalam R untuk membuat grafik tiga dimensi.

> # plot-plot 3D menggunakan: persp, contour, image

> # Bangun Bidang Datar
> x <- y <- seq(-5, 5, length=50)

> # Untuk membuat dimensi yang ketiga, kita membutuhkan fungsi "outer"
> z <- outer(x, y, "+")
> persp(x, y, z )

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Untuk fungsi yang lebih kompleks, definisikan fungsinya terlebih dahulu. Contoh berikut ini adalah menggambarkan grafik fungsi berikut:

> # misalkan fungsinya diberi nama f2

> f2 <- function(x, y){ x * sin(y) + y*sin(x)}
> z2 <- outer(x, y, "f2")

> persp( x, y, z2)

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Perintah berikut ini memberikan perpektif yang lebih baik

> persp(x, y, z2, theta=45, phi=45, col="slateblue")

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Argumen col pada fungsi persp akan memberikan warna pada grafik yang kita buat. Untuk melihat warna-warna apa saja yang dapat diterima oleh R, gunakan perintah berikut ini:

> colors() # atau
> colours()

Perintah R berikut ini memberikan gambar lain yang lebih menarik. Fungsi yang ingin digambarkan adalah:

> x <- seq(-10, 10, length= 50)
> y <- x
> f <- function(x,y) { r <- sqrt(x^2+y^2); 10 * sin(r)/r }
> z <- outer(x, y, f)

> persp(x, y, z, theta=45, phi=30, col="skyblue")

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Perintah R berikut ini memberikan gambar fungsi yang sama, tetapi dengan perspektif yang lain (theta = 30 dan phi = 45), dan warna kuning (col = "orange").

> persp(x, y, z, theta=30, phi=45, col="orange")

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Perintah R berikut ini memberikan gambar fungsi yang sama, tetapi dengan detil yang lebih baik.

> persp(x, y, z, theta = 30, phi = 30, col = "lightblue",
+ ltheta = 120, shade = 0।75, ticktype = "detailed",
+ xlab = "X", ylab = "Y", zlab = "f(x, y)" )

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Bidang "Countour"

Bidang countour merupakan proyeksi grafik tiga dimensi kebidang XY, yang mana ketinggian grafik digambarkan oleh garis-garis countour yang samakin rapat atau padat. Perintah-perintah berikut ini menggambarkan bidang countour tersebut, dengan fungsi R countour dan image.

> contour(x, y, z)

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

> image(x, y, z)

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

> image(x, y, z, col=rainbow(n=100))

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

> image(x, y, z, col=terrain.colors(n=100))

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Grafik Tiga Dimensi

Grafik tiga dimensi dengan mudah dapat dibuat dengan menggunakan bantuan R. Berikut ini adalah perintah-perintah dalam R untuk membuat grafik tiga dimensi.

> # plot-plot 3D menggunakan: persp, contour, image

> # Bangun Bidang Datar
> x <- y <- seq(-5, 5, length=50)

> # Untuk membuat dimensi yang ketiga, kita membutuhkan fungsi "outer"
> z <- outer(x, y, "+")
> persp(x, y, z )

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Untuk fungsi yang lebih kompleks, definisikan fungsinya terlebih dahulu. Contoh berikut ini adalah menggambarkan grafik fungsi berikut:

> # misalkan fungsinya diberi nama f2

> f2 <- function(x, y){ x * sin(y) + y*sin(x)}
> z2 <- outer(x, y, "f2")

> persp( x, y, z2)

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Perintah berikut ini memberikan perpektif yang lebih baik

> persp(x, y, z2, theta=45, phi=45, col="slateblue")

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Argumen col pada fungsi persp akan memberikan warna pada grafik yang kita buat. Untuk melihat warna-warna apa saja yang dapat diterima oleh R, gunakan perintah berikut ini:

> colors() # atau
> colours()

Perintah R berikut ini memberikan gambar lain yang lebih menarik. Fungsi yang ingin digambarkan adalah:

> x <- seq(-10, 10, length= 50)
> y <- x
> f <- function(x,y) { r <- sqrt(x^2+y^2); 10 * sin(r)/r }
> z <- outer(x, y, f)

> persp(x, y, z, theta=45, phi=30, col="skyblue")

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Perintah R berikut ini memberikan gambar fungsi yang sama, tetapi dengan perspektif yang lain (theta = 30 dan phi = 45), dan warna kuning (col = "orange").

> persp(x, y, z, theta=30, phi=45, col="orange")

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Perintah R berikut ini memberikan gambar fungsi yang sama, tetapi dengan detil yang lebih baik.

> persp(x, y, z, theta = 30, phi = 30, col = "lightblue",
+ ltheta = 120, shade = 0।75, ticktype = "detailed",
+ xlab = "X", ylab = "Y", zlab = "f(x, y)" )

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Bidang "Countour"

Bidang countour merupakan proyeksi grafik tiga dimensi kebidang XY, yang mana ketinggian grafik digambarkan oleh garis-garis countour yang samakin rapat atau padat. Perintah-perintah berikut ini menggambarkan bidang countour tersebut, dengan fungsi R countour dan image.

> contour(x, y, z)

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

> image(x, y, z)

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

> image(x, y, z, col=rainbow(n=100))

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

> image(x, y, z, col=terrain.colors(n=100))

Grafik yang ditampilkan adalah sebagai berikut:

Analisis Numerik

R dapat digunakan untuk mencari akar persamaan Matematika. contohnya adalah akar persamaan berikut ini:

Perintahnya adalah sebagai berikut.

> # Penyelesaian Akar Persamaan
> # - variabel tunggal (univariate)

> # Definisikan fungsinya, misal f.akar
> f.akar <- function(x){ x - cos(x^2) }
> x <- seq(0, pi, length=100)
> plot(x, f.akar(x), type="l")
> abline(h=0, lwd=2, col=2)

Perintah tersebut akan menampilkan grafik berikut.

Perpotongan antara kurva dengan garis horisontal (berwarna merah) adalah akar persamaan tersebut. Titik potong tersebut berada antara titik 0.5 dan 1.0.

> uniroot(f = f.akar, interval=c(0.5, 1) )

Outputnya adalah

$root
[1] 0.8010704

$f.root

[1] -8.13351e-07

$iter

[1] 4

Jadi nilai akar persamaan tersebut diaproksimasi sebesar 0.8010704

Ok Sekian dulu lain kali sambung lagi.